Sonli Usullar/O‘zbekcha qo‘llanma
v2

Oddiy differensial tenglamalar / O‘zbekcha qo‘llanma

Eyler usuli (oddiy differensial tenglama)

Eyler usuli boshlang‘ich qiymat masalasida yechim egri chizig‘ini har bir qadamda uning joriy qiyaligi bo‘yicha to‘g‘ri chiziq bilan yaqinlashtiradi. Sodda bo‘lishiga qaramay, qadam kattaligi xatoga sezilarli ta’sir qiladi.

Interaktiv hisoblagichni ochish

Asosiy formula

yᵢ₊₁ = yᵢ + h · f(xᵢ, yᵢ), y(x₀) = y₀

Qadam-baqadam algoritm

  1. 1Tenglamani y′ = f(x, y) ko‘rinishida va boshlang‘ich (x₀, y₀) ni yozing.
  2. 2Qadam h ni tanlab, xᵢ₊₁ = xᵢ + h ni hisoblang.
  3. 3Joriy nuqtadagi qiyalik f(xᵢ, yᵢ) ni toping.
  4. 4yᵢ₊₁ = yᵢ + h f(xᵢ, yᵢ) bilan yangi qiymatni topib takrorlang.

Ishlangan misol

y′ = y, y(0) = 1 masalasining birinchi qadami; h = 0.1.

f(0, 1) = 1; y₁ = 1 + 0.1 · 1 = 1.1.

Eyler bahosi y(0.1) ≈ 1.1; aniq qiymat e⁰·¹ ≈ 1.10517.

Qachon ishlatiladi?

  • Differensial tenglama yechimini qanday qadamlar qurishini o‘rganishda.
  • Hisoblashni soddalashtirish va yuqoriroq tartibli usullar bilan taqqoslashda.

Cheklovlari

  • Global xatoning tartibi odatda O(h); aniqlikni oshirish uchun h ni kichraytirish kerak.
  • Juda qattiq o‘zgaruvchi sistemalarda oddiy Eyler usuli katta xato yoki beqarorlik berishi mumkin.

Ko‘p so‘raladigan savollar

Eyler usulida h nimani bildiradi?

h — mustaqil o‘zgaruvchi x bo‘yicha ikki ketma-ket hisoblash nuqtasi orasidagi qadam uzunligi.

Eyler usuli aniqligini qanday yaxshilash mumkin?

Qadamni kichraytirish mumkin, ammo hisoblashlar soni oshadi. Amaliy masalalarda Heun yoki Runge–Kutta kabi yuqori tartibli usullar ham tanlanadi.